Geometria Analítica - Hipérbole 1

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Geometria Analítica - Hipérbole 1

Mensagem por Luís Eduardo em Qui Out 20, 2011 11:07 am

Determinar sobre a hipérbole

x²/24 - y²/18 = 1,

um ponto M1 o mais próximo possível da reta 3x + 2y + 1 = 0.
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Re: Geometria Analítica - Hipérbole 1

Mensagem por Lucas da Cruz em Qui Out 20, 2011 12:49 pm

Determinar sobre a hipérbole

x²/24 - y²/18 = 1,

um ponto M1 o mais próximo possível da reta 3x + 2y + 1=0
----------------------------------------------------------
O ponto da hipérbole mais próximo possível da reta citada deve estar sobre a reta tangente à hipérbole que tiver o mesmo coeficiente angular :

x²/24 -y²/18=1 .(72)

3x²-4y²=72

y=(1/2)sqrt(3x²-72)

Derivando em relação a x temos:

dy/dx=(1/4).(3x²-72)^(-1/2).(6x)

dy/dx=coeficiente angular da reta que queremos, logo:

3x+2y+1=0--->y=(-3/2)x+(-1/2)

dy/dx=-3/2=(1/4).(6x).(3x²-72)^(-1/2)

(-3/2)= (3/2).x.(3x²-72)^(-1/2)

Elevando ao quadrado dos dois lados:

3x²-72=x²

2x²=72

x=+-6

O que fornece os pontos (6,3),(6,-3),(-6,3) e (-6,-3)

Resta analisar os gráficos das funções para escolher o ponto M1:

Hipérbole:


Reta:


De cara podemos excluir os pontos (6,3) e (-6,-3) visto que as tangentes que passam por eles têm coeficientes angulares positivos.

Para inferir qual é o ponto M1, podemos só olhar o gráfico ou descobrir a distância entre as tangentes:

A que passa pelo ponto (-6,3):
t1:y=(-3/2)x+b1
3=(-3/2)(-6) +b1
b1=-6
A que passa pelo ponto (6,-3):
t2:y=(-3/2)x+b2
-3=(-3/2)(6) +b2
b2=6
Então temos:
t1:y=(-3/2)x-6
t2:y=(-3/2)x+6
Rt:y=(-3/2)x -1/2

Subtraindo os coeficientes lineares, podemos já saber qual a reta mais próxima, já q tratamos de retas paralelas.

Sendo assim, a reta t1 é a mais próxima e o ponto M1 é: (-6,3)
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Re: Geometria Analítica - Hipérbole 1

Mensagem por Luís Eduardo em Qui Out 20, 2011 7:27 pm

Muito bom Lucas, a resposta é essa. Smile
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Re: Geometria Analítica - Hipérbole 1

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