(PERU) Equações e polinômios simétricos

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(PERU) Equações e polinômios simétricos

Mensagem por Luís Eduardo em Seg Ago 15, 2011 10:33 pm

A partir de: x + y + z = 1 ; x² + y² + z² = 9 ; x³ + y³ + z³ = 1 . O valor de 4/(x^4 + y^4 + z^4) é igual a:
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Re: (PERU) Equações e polinômios simétricos

Mensagem por Luís Eduardo em Seg Ago 15, 2011 10:41 pm

Sabendo por polinômios simétricos que:

x^4 + y^4 + z^4 = (x + y + z)(x³ + y³ + z³) - (xy + yz + zx)(x² + y² + z²) + xyz(x + y + z)
x^4 + y^4 + z^4 = 1.(1) - (xy + yz + zx)(9) + xyz(1)
x^4 + y^4 + z^4 = 1 - 9(xy + yz + zx) + xyz


x + y + z = 1 ====> Elevando os dois ao quadrado
x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 1
9 + 2(xy + yz + zx) = 1
2(xy + yz + zx) = -8
xy + yz + zx = - 4

x + y + z = 1 ====> Elevando os dois ao cubo e fazendo as devidas mudanças ...
xyz = - 4

Substituindo no inicio encontramos:


x^4 + y^4 + z^4 = 1 - 9(xy + yz + zx) + xyz
x^4 + y^4 + z^4 = 1 - 9(-4) - 4
x^4 + y^4 + z^4 = 33


Logo, a resposta para a questão será 4/33
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