Geometria analítica

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Geometria analítica

Mensagem por DGabriel em Qua Ago 24, 2011 11:59 pm

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Encontre um sistema de eixos cartesianos adequado, uOv, para a cônica plotada num sistema de eixos cartesianos xOy de equação:

8x² + 2xy + 8y² = 63

Pede-se:

(1) as coordenadas dos focos em xOy;
(2) a distância focal;
(3) o valores de a e b, semi-eixos da cônica;
(4) a área da região interna à cônica.

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Re: Geometria analítica

Mensagem por Luís Eduardo em Sex Ago 26, 2011 11:53 pm

Resolução de Davi Lopes de Medeiros - Bronze na Romanian Master in Mathematics

Primeiro, um fato especial

Fato: Se uma cônica tem equação:



E, se essa cônica for roto-transladada para a cônica:



Então:

A + C = a + c






Prova: A ideia é usar as equações de transformação e substituir tudo !
- Transl.: (x';y') ---> (x + x0;y + y0)

- Rotação por "alfa":



Queremos transformar:

em

Logo,

(i) 8 + 8 = a + c ===> a + c = 16

(ii)

Assim, podemos achar a = 7 e c = 9

iii)



f = - 63

Logo:




Assim, vamos para o que a questão pede:

Como 3 > sqrt(7), o esboço é assim:





Assim: ===> resposta da 2

a = 3 ; b = sqrt(7) ====> resposta 3

Área: pi.a.b = 3.sqrt(7).pi ====> resposta 4



Note que, em uOv, F1(-sqrt(2),0) ; F2 (sqrt(2) ; 0)

Veja que,





Resolvendo achamos x = - 1 e y = -1
Logo, F1 = (-1, -1) (em xOy)


F2:


(x,y) = (1,1)

F2 = (1,1) (em xOy)

Logo, (1) está respondido e acabou.
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Re: Geometria analítica

Mensagem por Davi Lopes em Sex Set 16, 2011 11:37 pm

Usar determinantes para resolver problemas de cônicas é bacana, né? Depois eu vou passar mais problemas! Very Happy

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Re: Geometria analítica

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