Geometria analítica
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Geometria analítica
.
Encontre um sistema de eixos cartesianos adequado, uOv, para a cônica plotada num sistema de eixos cartesianos xOy de equação:
8x² + 2xy + 8y² = 63
Pede-se:
(1) as coordenadas dos focos em xOy;
(2) a distância focal;
(3) o valores de a e b, semi-eixos da cônica;
(4) a área da região interna à cônica.
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Encontre um sistema de eixos cartesianos adequado, uOv, para a cônica plotada num sistema de eixos cartesianos xOy de equação:
8x² + 2xy + 8y² = 63
Pede-se:
(1) as coordenadas dos focos em xOy;
(2) a distância focal;
(3) o valores de a e b, semi-eixos da cônica;
(4) a área da região interna à cônica.
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Re: Geometria analítica
Resolução de Davi Lopes de Medeiros - Bronze na Romanian Master in Mathematics
Primeiro, um fato especial
Fato: Se uma cônica tem equação:
E, se essa cônica for roto-transladada para a cônica:
Então:
A + C = a + c
Prova: A ideia é usar as equações de transformação e substituir tudo !
- Transl.: (x';y') ---> (x + x0;y + y0)
- Rotação por "alfa":
Queremos transformar:
em
Logo,
(i) 8 + 8 = a + c ===> a + c = 16
(ii)
Assim, podemos achar a = 7 e c = 9
iii)
f = - 63
Logo:
Assim, vamos para o que a questão pede:
Como 3 > sqrt(7), o esboço é assim:
Assim: ===> resposta da 2
a = 3 ; b = sqrt(7) ====> resposta 3
Área: pi.a.b = 3.sqrt(7).pi ====> resposta 4
Note que, em uOv, F1(-sqrt(2),0) ; F2 (sqrt(2) ; 0)
Veja que,
Resolvendo achamos x = - 1 e y = -1
Logo, F1 = (-1, -1) (em xOy)
F2:
(x,y) = (1,1)
F2 = (1,1) (em xOy)
Logo, (1) está respondido e acabou.
Primeiro, um fato especial
Fato: Se uma cônica tem equação:
E, se essa cônica for roto-transladada para a cônica:
Então:
A + C = a + c
Prova: A ideia é usar as equações de transformação e substituir tudo !
- Transl.: (x';y') ---> (x + x0;y + y0)
- Rotação por "alfa":
Queremos transformar:
em
Logo,
(i) 8 + 8 = a + c ===> a + c = 16
(ii)
Assim, podemos achar a = 7 e c = 9
iii)
f = - 63
Logo:
Assim, vamos para o que a questão pede:
Como 3 > sqrt(7), o esboço é assim:
Assim: ===> resposta da 2
a = 3 ; b = sqrt(7) ====> resposta 3
Área: pi.a.b = 3.sqrt(7).pi ====> resposta 4
Note que, em uOv, F1(-sqrt(2),0) ; F2 (sqrt(2) ; 0)
Veja que,
Resolvendo achamos x = - 1 e y = -1
Logo, F1 = (-1, -1) (em xOy)
F2:
(x,y) = (1,1)
F2 = (1,1) (em xOy)
Logo, (1) está respondido e acabou.
Re: Geometria analítica
Usar determinantes para resolver problemas de cônicas é bacana, né? Depois eu vou passar mais problemas!
Davi Lopes- Mensagens : 3
Data de inscrição : 16/09/2011
Idade : 33
Localização : Fortaleza - CE
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