Fecho convexo

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Fecho convexo

Mensagem por fernandofilhols em Sex Ago 26, 2011 8:23 am

Dados n pontos no plano, tais que quaisquer 4 deles formam um quadrilátero convexo. Mostre que os n pontos formam um n-ágono convexo. (Polígono convexo de n lados).

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Mensagem por DGabriel em Sex Ago 26, 2011 12:34 pm

Vou pensar um pouco, rabiscar, depois eu posto a resolução comentada.
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Re: Fecho convexo

Mensagem por Luís Eduardo em Sab Ago 27, 2011 6:58 pm

Ei fernando, tudo bem ?

Tentei ela, mas ainda tenho dúvidas, acho que antes de resolvê-la deveria estudar melhor esse assunto.

A ideia da resolução seria testar casos ? Algo do tipo ?

Se tiver a resolução fácil, poste.

Abraço.
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Uma prévia da resolução

Mensagem por DGabriel em Ter Ago 30, 2011 11:37 am

.

Seja o polígono plano A1A2A3...An, com os vértices orietados no sentido anti-horário.

Queremos provar: o polígono A1A2A3...An é convexo se tomados quaisquer 4 de seus vértices formarem um quadrilátero convexo, isto é, para quaisquer sub-índices m, n, p, q, com 0 < m < n < p < q < n + 1, o quadrilátero AmAnApAq é convexo.

Vamos definir dois semi-espaços em relação ao segmento orientado AiAj (i < j):
Sd: à direita de AiAj; e
Se: à esquerda de AiAj.

[ be continued... ]

.
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Re: Fecho convexo

Mensagem por fernandofilhols em Qui Set 01, 2011 10:28 pm

Usando fecho convexo, o problema fica bem mais fácil do que parece. O fato de que para qualquer conjunto S de pontos no plano, sempre existe um polígono convexo (fecho convexo) que contem todos os pontos (na borda ou no interior) é muito bom.

Sejam A1, A2,...,AN os n pontos. Considere o seu fecho convexo. Então todos os pontos estão na borda ou no interior desse polígono. Se provarmos que não pode haver pontos no interior do polígono, acabou, pois todos os pontos estarão sobre o polígono. Suponha então que haja um ponto no interior do polígono. Lembre-se que todo polígono convexo pode ser triangularizado (dividido em triângulos). Então esse ponto no interior estará dentro de algum triangulo.

Mas, pegando esses 4 pontos (o triangulo e o ponto no interior), vemos que claramente eles não podem formar um quadrilátero convexo. Absurdo. Então, não há ponto no interior. c.q.d.

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Re: Fecho convexo

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