IBERO - Geometria

Sabendo que o lado do quadrado vale 1 cm, e que o segmento AC vale 1 cm também, calcule AB.

Resolução:




AB = x

CB = sqrt(1 - x²)


Por semelhança:

CB/L = AB/(AB+L)

sqrt(1 - x²) = x/(x + 1)

Elevando ao quadrado achamos:

x^4 + 2x³ + x² - 2x - 1 = 0


Nessa parte que a maioria dos estudantes não sabem mais continuar, irei essa equação de duas formas diferentes, fica a seu critério qual a melhor:


1)


Seja x = a e x/(x + 1) = b


Então,


a/(a+1) = b

a - b = ab

Eleva ao quadrado

a² - 2ab + b² = (ab)²

1 - 2ab = (ab)²


Considere: ab = y


1 - 2y = y²

y² + 2y - 1 = 0

Soma 2 em ambos os lados

y² + 2y + 1 = 2

(y + 1)² = 2

y + 1 = +- sqrt(2)

y = - 1 +- sqrt(2)





ab = sqrt(2) - 1
ab = - sqrt(2) - 1





Assim,



x*(x/(x+1)) = sqrt(2) - 1


x*(x/(x+1)) = - (sqrt(2) + 1)




Acharemos as equações do segundo grau:


x² - (sqrt(2) - 1)x - (sqrt(2) - 1) = 0
x² + (sqrt(2) + 1)x + (sqrt(2) + 1) = 0


A partir daqui é bem simples.







Segunda forma:

2)


Achamos a equação:

x^4 + 2x³ + x² - 2x - 1 = 0


Então, é só fatorar:



(x² - (sqrt(2) - 1)x - (sqrt(2) - 1))*(x² + (sqrt(2) + 1)x + (sqrt(2) + 1)) = 0


E depois é só resolver as equações.








Existe uma outra forma de resolver usando trigonometria, mas é bem similar ao primeiro método. Deixo como exercício.

Questão interessante!!!

Tiago Reis escreveu:Questão interessante!!!

Também acho tiago, o complicado é resolver a equação kkk