(MIT) - Equação

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Mensagem por marcelo em Qui Set 08, 2011 10:52 am

Encontre a soma dos valores absolutos das raízes da equação:

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Re: (MIT) - Equação

Mensagem por DGabriel em Qui Set 08, 2011 12:42 pm

.

Sendo x1, x2, x3, x4 as raízes da equação x^4 - 4x³ - 4x² + 16x - 8 = 0,
queremos calcular |x1| + |x2| + |x3| + |x4|.

Vamos fatorar o polinômio em dois do 2º grau:
(x² + ax + m)(x² + bx + n) ≡ x^4 - 4x³ - 4x² + 16x - 8

x^4 + (a + b)bx³ + (ab + m + n)x² + (an + bm)x - 8 ≡ x^4 - 4x³ - 4x² + 16x - 8

{ a + b = - 4 --(res1)--> a = b = - 2 ___ (res2)
{ ab + m + n = - 4 --(res2)--> m + n = - 8 ___ (eq5)
{ an + bm = 16 --> amn + bm² = 16m ___ (eq1)
{ mn = - 8 ___ (eq2)

Substituindo (eq1) em (eq2), vem:
- 8a + bm² = 16m --> bm² - 16m - 8a = 0 ___ (eq3)

De ab + m + n = - 4, multiplicando por bm ambos os membros, vem:
(ab)bm + bm² - 8b = - 4bm --> bm² + (ab² + 4b)m - 8b = 0 ___ (eq4)

Comparando (eq3) com (eq4), tiramos:
a = b ____ (res1)

De (eq2) e (eq5), percebemos que m e n são raízes da equação:
z² + 8z - 8 = 0 ==> z = - 4 ± 2 sqrt(6)

Portanto,

(x² - 2x - 4 + 2 sqrt(6) )(x² - 2x - 4 - 2 sqrt(6)) = 0

(i) x² - 2x - 4 + 2 sqrt(6) = 0 ==> |x1| + |x2| = x1 + x2 = 2

(ii) x² - 2x - 4 - 2 sqrt(6)) = 0 ==> x = 1 ± sqrt(5 + 2 sqrt(6))

|x3| + |x4| = x3 - x4 = 1 + sqrt(5 + 2 sqrt(6)) - 1 + sqrt(5 + 2 sqrt(6)) = 2 sqrt(5 + 2 sqrt(6))

Portanto,

|x1| + |x2| + |x3| + |x4| = 2 (1 + sqrt(5 + 2 sqrt(6)))

.
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