Olimpíada da Bélgica-94.

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Olimpíada da Bélgica-94.

Mensagem por velloso em Sab Set 10, 2011 1:19 pm

Cada lado de um cubo é pintado de uma cor(existem 6 disponíveis). De quantas maneiras é possível fazer isto? sabe-se que duas colorações são idênticas se podem se obtidas por rotação do cubo.

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Re: Olimpíada da Bélgica-94.

Mensagem por Luís Eduardo em Dom Set 11, 2011 10:46 am

Nós pegamos uma face com qualquer cor. Nós podemos escolher a cor do lado oposto em 5 formas.

Assim, sobra 4 cores que podem ser pintadas em 4!/4 = 6 formas (desde que rotação é permitida)

Assim, o número de formas será = 5.6 = 30
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Re: Olimpíada da Bélgica-94.

Mensagem por velloso em Dom Set 11, 2011 11:01 am

Ótimo, Luís. Simples e direto.
Solução da coleção do Rufino(coleção elementos da matemática):
Suponha que as 6 cores sejam representadas pelas letras A, B,C, D, E e F. Começando com o cubo sem nenhuma face pintada, vamos escolher uma face para ser pintada pela cor A. Repare que a escolha da face é irrelevante, pois a situação do cubo com apenas uma face pintada pela cor A pode ser obtida por rotação do cubo., independentemente da face escolhida a ser pintada. Vamos agora escolher a cor para pintar a face oposta à face pintada pela cor A. Para tanto temos 5 possibilidades. Agora temos 4 cores para pintar as 4 faces restantes. Coloquemos as faces já pintadas como bases do cubo. Devido à simetria das faces laterais ( que ainda não foram pintadas) e o fato de duas colorações serem idênticas se podem ser obtidas por rotação do cubo, então o que falta fazer é permutar circularmente as 4 cores restantes nas faces laterais do cubo, o que nos fornece (4-1)! = 3! permutações. Como temos que pintar as bases e as faces laterais, no total temos 5.3! = 30 colorações distintas.

em suma, é o que o Luís postou. Smile

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