Desafio - Eletrostática

Depois de lutar contra os sistemas dinâmicos decidi que ia tentar resolver a questão apenas com conhecimentos de ensino médio. E dentre todos os conceitos fundamentais achei que o conceito de que a densidade de linhas de campo que saem de uma carga é proporcional a sua própria carga era o necessário para resolver o problema. Fazendo isto, considerei um número N de linhas de campo que saem de q1, delimitadas por uma linha externa de ângulo alpha, que chegam em q2 delimitadas por um ângulo beta. (Supus que todas as linhas vão chegar em q2.)

Agora o ponto da questão é esse:

A densidade das linhas de campo, nas proximidades de uma carga, é proporcional ao seu módulo, então: N1/(A1*q1) = N2/(A2*q2).

Estamos considerando o mesmo número de linhas de campo, portanto:

A1*q1 = A2 * q2

A área de uma calota esférica com abertura alpha é (1-cos(alpha))2Pir², assim, proporcional a 1-cos(alpha). *

cos(alpha)=cos(alpha/2 + alpha/2) = cos²(alpha/2) - sen²(alpha/2)
=> cos(alpha) = 1 - 2sen²(alpha/2) => 1-cos(alpha) = 2sen²(alpha/2)

Assim:
q1 * sen²(alpha/2) = q2* sen²(beta/2)

* O ponto ali é que vamos pegar calotas de mesmo raio em q1, e em q2, e fazer o raio tender a zero da mesma maneira.. mas como os raios se cortam fica tudo okay.


Só pra deixar mais claro minha solução. Eu usei:

(1) O fluxo que sai de q1( delimitado por alpha) é igual ao que chega em q2( delimitado por beta), pois as linhas de campo são as mesmas.

(2) A lei de Gauss diz que o fluxo é proporcional a carga. O ponto é que quando se olha para uma esfera muito pequena centrada em qualquer uma das cargas, o campo gerado pela outra carga é desprezível e pode-se considerar que o campo é "uniforme na superfície esférica". ( com uniforme quero dizer que o módulo é constante e a direção é sempre perpendicular ao vetor área.)

O que eu fiz pra solucionar o problema foi juntar (1) e (2), basicamente. Talvez o Osvaldo tenha tido a mesma idéia mas não soube explicar.


Só pra deixar um ponto claro!
As linhas de força que eu peguei são as que vão desde a que está desenhada na figura, até a sua simétrica ( que corresponderia ao ângulo menos alpha do lado esquerdo e menos beta do lado direito). Notem que está de acordo com a área da calota que usei.