Somatório - Desafio

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Mensagem por gabrieldpb em Sab Out 15, 2011 1:15 pm

Determine o valor de

gabrieldpb

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Mensagem por Victor M em Sab Out 15, 2011 3:29 pm

Você tem o gabarito ?

Spoiler:
Encontrei S= 6.

Victor M

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Mensagem por Agash em Sab Out 15, 2011 3:46 pm

Poste a sua solução Victor M = ]

Agash

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Mensagem por Victor M em Sab Out 15, 2011 4:43 pm

Olá a todos,

Seja S o valor da expressão, teremos :

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Dividindo tudo por 2:
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Subtraindo a segunda da primeira e agrupando os termos com denominadores iguais:
Somatório - Desafio Gif

observando o fato que a²-b² =(a-b)(a+b), fazendo a = 1+b(caso que acontece na questão) => a²-b² = 2b + 1

Somatório - Desafio Gif

multiplicando tudo por dois chegamos:
Somatório - Desafio Gif

que é o mesmo que:
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observando que a segunda parte da soma é exatamente metade da primeira:
Somatório - Desafio Gif

Agora so falta calcular 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ...(usando as fórmulas da soma da PG)
1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ...= (1 + 1/2 + 1/4 + ... ) + (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) + ... = 2 + 1 + 1/2 + ... = 4

Logo:
S = 6

Acho que é isso.

Victor M

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Mensagem por gabrieldpb em Sab Out 15, 2011 9:49 pm

Resposta correta cheers

Cara gostei da sua resolução.

gabrieldpb

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Mensagem por Agash em Dom Out 16, 2011 4:01 pm

Tbm gostei = ]

Agash

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Somatório - Desafio Empty Re: Somatório - Desafio

Mensagem por Luís Eduardo em Dom Out 16, 2011 4:03 pm

Uma outra resolução, mas similar a do victor:

Seja Somatório - Desafio Gif.latex?$$S&space;=&space;\sum\limits_{k&space;=&space;1}^\infty&space;{{{{k^2}}&space;\over&space;{{2^k}}}}&space;....

agora faça k -> (k - 1), nós achamos

Somatório - Desafio Gif.latex?$$S&space;=&space;\sum\limits_{k&space;=&space;1}^\infty&space;{{{{{(k&space;-&space;1)}^2}}&space;\over&space;{{2^{k&space;-&space;1}}}}}&space;....

Somatório - Desafio Gif


Somatório - Desafio Gif.latex?$${S&space;\over&space;2}&space;=&space;S&space;+&space;1&space;-&space;2.S1.....

Aonde Somatório - Desafio Gif

Novamente faça k -> (k - 1), nós acharemos

Somatório - Desafio Gif

Somatório - Desafio Gif

Somatório - Desafio Gif

Agora, coloque o valor de S1 na equação (3) e acharemos:

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