OBF 2009; fase 3; 3º ano; Questão 2

Olá pessoal, tudo bem? Estou com a seguinte questão para resolver a um bom tempo, porém não consegui avançar quase nada:

2. Uma pequena esfera metálica de massa m foi abandonada juntamente com uma bola de borracha de massa M, esférica, de raio R, conforme a figura a seguir:



A massa M é muito menor que m e o volume da esfera metálica é desprezível quando comparado ao da bola de borracha. Considerando que: os movimentos dos centros de massa da esferinha e da bola estão sempre na mesma vertical; o sistema se choca contra o solo e todos os choques envolvidos são perfeitamente elásticos; a distância na vertical percorrida pela esferinha é muito maior que a deformação da bola de borracha; é desprezível a resistência do ar em questão, determine:

a) A velocidade aproximada com que a esferinha se separa da bola na subida.

b) A distância vertical percorrida pela esferinha na subida em função da distância percorrida pela mesma, na descida.

Grato por qualquer ajuda.

Para entender melhor essa questão seria interessante fazer 3 desenhos:

1) Bola grande choca-se com a parede com velocidade v (sentido para baixo) e bola pequena se aproximando com mesma velocidade v (pois vai percorrer a mesma distância da bola grande)

2) Como o choque é elástico, a bola grande apenas inverte seu sentido de velocidade e a bolinha pequena está se aproximando (velocidades em sentidos opostos da bolinha e da bola grande)

3) A bolinha pequena se choca com a bola grande e sai com velocidade u, a velocidade da bola grande continua v, pois a massa dela é muito maior que a massa da pequena.

Assim, poderíamos usar o coeficiente de restituição:

e = 1 = Vrel-depois/Vrel-antes = (u - v)/(v + v)

Logo, u = 3v, considerando que a bola grande seja solta no início de uma altura h, por conservação da energia mecânica poderíamos dizer que:

v = sqrt(2gh)

Assim, u = 3sqrt(2gh) <---- resposta a

b) Por conservação da energia mecânica no final temos:

mu²/2 = mgx ---> x = 9h <---- resposta b

Em relação ao solo a bolinha subirá: R + 9h


Acho que seria isso, mas o que acho estranho é ele não dizer a altura que a bola grande foi solta.

Seria assim caso a massa da bola grande fosse muito maior que a massa da bola pequena, mas é o contrário: "A massa M é muito menor que m". E além da altura não ser dada, informações como "a distância na vertical percorrida pela esferinha é muito maior que a deformação da bola de borracha" e "o volume da esfera metálica é desprezível quando comparado ao da bola de borracha" não fazem muito sentido.

Mas pensando na pergunta, como a massa da bola metálica é muito maior, penso que nos primeiros choque a velocidade dela continuara com sentido para baixo, chocando-se múltiplas vezes com a bola de borracha, até um dado momento subir. Acho que pode ser algo assim, mas não tenho certeza.

Estranho, vendo pela figura a bola M para ter uma massa muito maior que m. Quando ele fala "a distância na vertical percorrida pela esferinha é muito maior que a deformação da bola de borracha" acho que seria que a bola m iria subir numa altura bem maior que M (que praticamente iria permanecer no solo).

"o volume da esfera metálica é desprezível quando comparado ao da bola de borracha" ele quis dizer que a densidade é muito grande, se ela é densa e tem uma grande massa ... será que ela iria subir ? Eu também fiquei com dúvida nisso.

Não tenho certeza se ela não inverte o sentido, acredito que ela poderá sim inverter o sentido quando chocar com a bola de borracha.

Como vc resolveu ?

Não consegui resolver ainda. Mas a primeira colisão eu fiz do mesmo jeito que você resolveu a questão lá em cima, com coeficiente de restituição e quantidade de movimento. Considerei que quando o conjunto chocar-se com o chão, a bola de borracha rapidamente inverterá o sentido do movimento, voltando com uma velocidade v, ao passo que a bola menor estará descendo com uma velocidade v também, tudo isso numa escala infinitesimal, tal como você fez. No final das contas cheguei à um resultado negativo para a velocidade da bola metálica, indicando que ela ainda possui sentido para baixo. As outras colisões eu não cheguei a tentar ainda.

Você tem certeza que o enunciado é esse mesmo ? "A massa M é muito menor que m " ?

Achei estranho a massa M ser menor, se isso for verdade, ela iria subir e colidir com a massa "m" no ar, não seria ? Nesse caso, já não sei como iria resolver kkk.

Algum conhecido seu ou alguém teve uma ideia diferente da minha para resolver ? Se sim, como ?

Tenho certeza sim, se quiser baixar pra dar uma olhada o link é esse: http://www.sbf1.sbfisica.org.br/olimpiadas/obf2009/Provas.shtm

E por que a bola maior subiria? Elas são abandonadas de uma altura juntas, coladas, por isso eu disse que durante as separações do problema, entre diversas colisões, o tempo entre a bola maior colidir e voltar-se para cima seria infinitesimal, para não falar nulo.

E não, não conheço ninguém que tenha tido outra ideia... Um professor meu disse-me que tentou essa nossa resolução, simulando várias colisões (já que após a primeira colisão a velocidade da bolinha continua negativa), mas não conseguiu resolver; eu particularmente não tentei ainda, então não posso te falar concerteza.

Tente aí.

Será que se m >> M, a velocidade u seria igual a v ?