Limites... de uma função. Só dúvida... !?

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Mensagem por kamisama em Sex Fev 10, 2012 4:14 pm

Prove pela definição de limites que:

lim (2x+3)=1
x→-1

Sabemos que pela definção para todo ε > 0 existe um δ>0, e que δ depende de ε. E que estamos interessados no comportamento de f(x) quando x tende a -1

logo devemos achar uma relação entre ε e δ ou um δ que faça com que o módulo da diferença, ou seja, que faça a distância entre x e -1 aproximar-se de um valor, nesse caso o -1 que irá fazer f(x) tender a L seu limite ou a menor distância entre |f(x)-L|, ou seja, | 2x+3-1|, é isso ?

Ou seja:

0<|x+1|<δ --> |2x+3-1|<ε

Desenvolvendo o ε, temos:

2|x+1|<ε --> |x+1|<ε/2 --> comparando com 0<|x+1|<δ achamos δ=ε/2, logo devemos ter um δ=ε/2 para que f(x) se aproxime de seu limite L, ou seja, para que exista a menor distância entre o L e f(x), ou vice-versa !

Provando:

0<|x+1|<δ=ε/2 --> |x+1|<ε/2 --> 2|x+1|<ε --> |2x+2|<ε --> |2x+2 +1 -1|<ε --->

|(2x+3) -1|<ε

OBS: Usei o +1 e -1 para chegar ao que queria, adicionando e subtraindo o mesmo numero para não desbalancear a equação


logo para qualquer δ=ε/2 teremos uma menor distância entre f(x) e seu limite L, que é o que nos interessa, ou seja, para qualquer δ=ε/2 teremos | f(x)-L |<ε ou |(2x+3)-1|<ε


Gostaria de saber se o que fiz e o que disse está certo ?

Se não, o que significa aplicar o δ=ε/2 em <|x+1|<δ de forma a chegar em |2x+3-1|<ε novamente ??

Agradecerei profundamente a quem puder me ajudar...

cheers cheers cheers

Obrigado.

kamisama

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Mensagem por Euclides em Ter Fev 14, 2012 10:41 pm

Está tudo certo sim. Você mostrou que para qualquer ε arbitrário existirá um δ que satisfaz a condição contida na definição.

Essa definição de limite, apesar de lógica e correta, é uma coisa muito ruim de se engolir.

Euclides

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Mensagem por kamisama em Seg Mar 05, 2012 2:56 pm

Obrigado Euclides.

kamisama

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