Triângulo de Napoleão - Outra pergunta

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Mensagem por Luís Eduardo em Qua Set 07, 2011 4:13 pm

Prove, utilizando a geometria dos números complexos que,YB = AX = CZ

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Napoleon's_theorem
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Mensagem por Luís Eduardo em Qua Set 07, 2011 4:35 pm

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Cals3


Pela imagem da questão podemos fazer:

i)
Seja
Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif.latex?\\ \overrightarrow{BA}.cis(60)=\overrightarrow{BZ}&space;\\&space;\overrightarrow{BC}

Então:

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif.latex?\overrightarrow{BC}

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif

Subtraindo C dos dois lados e organizando a expressão (fator comum) achamos:

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif.latex?\overrightarrow{CB} (I)


ii)

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif.latex?\\&space;\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CY}.cis(60)&space;\\&space;\overrightarrow{CB}&space;=&space;\overrightarrow{CA}

Assim, podemos escrever:

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif.latex?\overrightarrow{CB}&space;=&space;\overrightarrow{CY}

Agora isolando B de um lado e subtraindo Y dos dois lados e depois fazendo fator comum iremos achar:

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif.latex?\overrightarrow{YB}&space;=&space;\overrightarrow{YC} (II)


iii)

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif.latex?\\&space;\overrightarrow{XB}.cis&space;(60)=\overrightarrow{BC}&space;\\&space;\\&space;\overrightarrow{BC}

Podemos escrever:

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif.latex?\\&space;\overrightarrow{XB}

Agora isolando o -A de um lado e somando X dos dois lados e fazendo fator comum achamos:

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif.latex?\\&space;\overrightarrow{BX} (III)



Agora, como os triângulos são equiláteros podemos concluir que:

Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif

Logo, é fácil concluir pelas equações I,II,III que:



Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Gif

Q.E.D
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Mensagem por Lucas da Cruz em Qua Set 07, 2011 5:26 pm

What Q.E.D stands for?
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Mensagem por Luís Eduardo em Qua Set 07, 2011 7:27 pm

kkk.

Q.E.D = quod erat demonstrandum (em latim)

É o similar CQD em português.

Geralmente, colocam o Q.E.D, pois é mais conhecido e universal.

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Triângulo de Napoleão - Outra pergunta Empty Re: Triângulo de Napoleão - Outra pergunta

Mensagem por marcos em Qui Set 08, 2011 11:11 am

Questão legal Wink
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