OBF; fase 3; 3º ano; Questão 5

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OBF; fase 3; 3º ano; Questão 5

Mensagem por fbaltor em Qui Out 20, 2011 2:18 pm

Olá pessoal, tudo tranquilo? Estou com dúvida quanto à resolução da seguinte questão, que caiu esse ano na Olimpíada Brasileira de Física. Eu até postei esse tópico no fórum PiR2 (http://pir2.forumeiros.com/t18320-oscilacoes-em-movimento-circular-uniforme) mas a galera não chegou a refutar ou confirmar. Aí vai:

Questão 5

Uma mesa, com sua superfície a uma altura H do chão, tem um orifício em seu centro. Uma partícula de massa m é presa a um corpo suspenso de massa M por uma corda de comprimento l > H que passa pelo orifício. A partícula pode se mover sem atrito pela superfície da mesa (e também não há atritos entre a corda e o orifício) . É dada à partícula uma velocidade angular W em torno do orifício (sem nenhuma componente radial de velocidade).

a) Sendo r a distância da partícula até o orifício, calcule o raio de equilíbrio R = Ro para o qual o corpo de massa M fica parado (suspenso pelo fio). Expresse o raio Ro em termos de M, m, W e g, a gravidade local.

b) Calcule a frequência de pequenas oscilações radiais da partícula em torno de Ro. Imagine que inicialmente a partícula se encontrava em movimento circular em Ro e com velocidade angular Wo quando uma pequena perturbação radial fez com que ela começasse a oscilar. Você pode precisar usar que (1 + x)^n =~ 1 + nx se x<<1.

c) Considere que a partícula esteja inicialmente a uma distância R do orifício, com uma velocidade angular W. O sistema é então solto de modo que o corpo M desça naturalmente até o chão, isto é, suponha que l - H > Ro. Qual será a nova velocidade angular W' da partícula nessa nova situação? Expresse o resultado em função dos parâmetros básicos do problema.

As minhas respostas foram:

Spoiler:
a) Ro = (M.g)/(m.W^2)

b) f = Wo/(2.pi)

c) W' = (W.R)/(l - H)

As resoluções foram as seguintes:


Na primeira alternativa igualei o peso da massa M com a força centrípeta necessária para manter a massa pontual m em MCU.


Na terceira acontece que enquanto a massa M desce, seu peso atua, através do fio, na massa m, produzindo assim um trabalho, daí conclui-se que haverá variação de sua energia cinética; PORÉM, tal variação será numa direção perpendicular à trajetória circular, de modo que a velocidade radial não variará. A única variável nessa situação será o raio da trajetória, que diminuirá de uma distância igual à distância do corpo M até o chão.


Já a segunda alternativa é mais complicada. Fiz assim:

Primeramente afastei a massa m uma distância x do raio de equilíbrio Ro, sendo



a nova força necessária para mante-la nessa nova trajetória. Como o raio depois da perturbação é R = Ro + x, temos:



Porém a velocidade radial Vo mantém-se constante apesar da perturbação, de modo que a nova velocidade angular W é dada por:



Mas de forma que a força F' será:







Utilizando a aproximação dada no enunciado, temos:



Essa seria a força F' necessária para manter o objeto na nova órbita. Porém a força que verdadeiramente age no objeto é Fo. Assim, temos a seguinte situação:



Assim, "surgirá" uma força restauradora Fr que atua quando afastamos o objeto de sua "órbita" inicial (ponto de equilíbrio), dada pela diferença entre Fo e F'. Equacionando temos:



E como essa força Fr é característica do movimento harmônico simples (proporcional à distância do ponto de equilíbrio, ou "órbita", no caso), podemos iguala-la à força genérica existente em um MH, da seguinte forma:



Portanto, a frequência será:



Acho que é isso, mas não tenho certeza. Agradeço por qualquer comentário sobre a questão.


Abraços.


Última edição por fbaltor em Qui Out 20, 2011 9:10 pm, editado 1 vez(es)
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Re: OBF; fase 3; 3º ano; Questão 5

Mensagem por fbaltor em Qui Out 20, 2011 2:22 pm

E postei essa questão aqui nessa parte do fórum por causa da alternativa "b", que na minha visão foi a mais complicada e difícil, e cujo âmago da resolução é movimento harmônico, "ondulatória".
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Re: OBF; fase 3; 3º ano; Questão 5

Mensagem por marcos em Qui Out 20, 2011 7:47 pm

Não fiz a prova do terceiro ano, mas quando li rapidamente o enunciado, veio em minha mente a questão da capa do Irodov. Na questão do livro foi necessário o conhecimento de momento angular.

Nesta questão que postou, achei a mesma resposta no item A, mas os outros não sei responder:

A) T = Mg

T = Fcp

Mg = mw²R

Mg/mw² = R
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Re: OBF; fase 3; 3º ano; Questão 5

Mensagem por Lucas da Cruz em Qui Out 20, 2011 8:15 pm

Deu isso aqui tb fbaltor. Acho que fiz a mesma coisa inclusive. Já já eu posto o que fiz.
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Re: OBF; fase 3; 3º ano; Questão 5

Mensagem por fbaltor em Qui Out 20, 2011 9:44 pm

É interessante notar que a frequência de vibrações do corpo pequeno e por consequência a do corpo suspenso, é igual à frequência do movimento circular. A composição dos movimentos circular e harmônico deve gerar uma espécie de elipse, ou algo assim, depois vejo se consigo encontrar a equação do movimento e jogar em um gráfico, aí trago aqui.
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Re: OBF; fase 3; 3º ano; Questão 5

Mensagem por fbaltor em Sab Out 22, 2011 9:34 am

Acho realmente que vai dar uma elipse com um dos focos no buraco por onde passa o fio... Agora é só ter saco de ir jogando os pontos notáveis desse gráfico na função geral do segundo grau para duas variáveis.
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Re: OBF; fase 3; 3º ano; Questão 5

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