CARGAS EM MOVIMENTO- CÁLCULO DE TEMPO

DUAS CARGAS IDÊNTICAS SÃO COLOCADAS A UMA DISTÂNCIA L UMA DA OUTRA E SÃO DEIXADAS LIVRES. APÓS UM TEMPO T A DISTÂNCIA ENTRE AS CARGAS DUPLICOU. ESTAS MESMAS CARGAS SÃO COLOCADAS A UMA DISTÂNCIA 2L E SÃO DEIXADAS LIVRES. DETERMINE O TEMPO PARA O QUAL A DISTÂNCIA ENTRE AS CARGAS DUPLICOU.

Gabarito:

Spoiler:

Situação I)
(+) |-------------------| (+)
....................L..............

Força elétrica = Fe = k.q²/L²
Força resultante = F = m.a
=> a = k.q²/m.L² (aceleração de cada bolinha)

A aceleração relativa entre as bolinhas é ar = 2.a = 2. k.q²/m.L²

Sabe-se que: S = a.t²/2=> T² = m.L³/k.q² (i)

Situação II)
(+) |--------------------------------------| (+)
......................................2L..............

Fe' = k.q²/(2L)² => Fe' = kq²/4L² => a' = kq²/4mL²

A aceleração relativa entre as bolinhas é:
ar' = 2.a' => ar' = 2.k.q²/4.m.L² => ar' = kq²/2.m.L²

Sabe-se que: S = a.t²/2 => 2L = k.q².t²/2.2.m.L²
=> t² = 8.L³.m/k.q² => de I => t² = 8T² => t = V8.T

Luis, mas a aceleração vai variar com a distância entre as cargas...Acho q n pode dizer q S=at²/2 e q, inclusive, o problema da questão está em a aceleração n ser constante...

Eu pensei em espelhar o movimento das cargas (espelho no meio da reta q contém as duas cargas) , assim, o movimento das imagens seria de atração, o q nos permitiria trabalhar com uma elipse degenerada semelhante à usada naqueles problemas de gravitação...

Aí ficaria que uma das cargas estaria num foco da elipse e a outra seria movimentada com o dobro da aceleração...
A "área" percorrida pela carga em movimento seria(1ª situação) :
S=(1/4)pi.a.b +bc/2 e=c/a--> c=ea
S= (1/4).pi.ab +e.a.b/2
E a área total seria: St=piab
O período total seria dado por : P=2pi sqrt[L/(2KQ²/ML²)]
E a relação entre ele e o tempo para as cargas se encontrarem seria a mesma que a relação entre a área total e a área percorrida da elipse:
T/P=S/St <=> T/P=1/4 +1/2pi , já que a elipse é degenerada e-->1
Logo, chamando 1/4+1/2pi =K, temos que : T=P.K
Mas, para a segunda situação , temos que P'=2pisqrt[2L/(2KQ²/4ML²)], ou seja, P'=Psqrt8 .
Assim, analogamente ao primeiro caso, temos tb que: T'=P'K.
Substituindo Psqrt8=P' e dividindo T' por T, obtemos:
T'/T=P'K/PK<=>T'/T=K.Psqrt8/K.P<=> T'=Tsqrt8

Resolução

Para resolver este problema, iremos utilizar o teorema do valor médio como provaremos a seguir.
O gráfico da aceleração em função do tempo será similar à figura abaixo:



Pelo gráfico, sabemos que:



Mas, queremos provar que:

Para isso, devemos aplicar o teorema do valor médio:





Agora, para resolver o problema basta utilizarmos a aceleração média.


Primeiro caso:



As duas cargas estão a uma distância L uma da outra e após um tempo T a distância entre elas duplicou.

Então, sabemos pelo teorema do valor médio que:

(I)

Pela conservação da energia mecânica temos que:





Como temos a aceleração média podemos usar a equação de Torricelli:

(II)

Elevando a equação (I) ao quadrado e igualando com a equação (II) achamos que:

(III)



Segundo caso:

Agora iremos analisar o segundo caso quando as cargas estão dispostas a uma distância de 2L e depois de um tempo t' essa distância dobra.



(IV)

Usando a conservação da energia mecânica:



Isolando o (v')²:



Note que: v² = Kq²/2mL, então:



Usando torricelli:

(V)

Elevando ao quadrado a equação (IV) e igualando a equação (V) iremos encontrar que:



Agora, basta encontrar uma relação entre a'm e am e assim encontraremos a resposta para o problema. Para isso, sabemos que:



Sabendo disso, o problema terminou já que:



Então,