Clássica aplicacao do princípio extremo

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Clássica aplicacao do princípio extremo

Mensagem por fernandofilhols em Sex Ago 26, 2011 10:07 pm

Dado um conjunto de n pontos no plano de forma que qualquer triângulo determinado por 3 dos n pontos tem área no máximo 1, prove que todos os pontos estão contidos em um triângulo de área 4.

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Re: Clássica aplicacao do princípio extremo

Mensagem por marcelo em Sab Ago 27, 2011 12:25 am

fernandofilhols,

Não tenho muita certeza se seria assim, mas vou tentar:

seja ABC um triângulo de área máxima
seja MNP um triângulo tal que A,B,C são os pontos médios dos seus lados.

Assim, a área do triângulo é 4S aonde S é a área de ABC tal que é menor que 4.

Cada ponto dado estará no interior desse triângulo.

Acredito que podemos justificar isso supondo que não, assim para fazer deste triângulo de área 4 nós poderemos pegar um ponto Q em MPQ por exemplo de tal forma que a área de MNQ é 4.

Poste sua resolução se tiver.
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marcelo

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Re: Clássica aplicacao do princípio extremo

Mensagem por fernandofilhols em Sab Ago 27, 2011 3:35 pm

Legal, você teve a idéia certa. Considere um triângulo ABC de área máxima. Trace por A uma paralela r1 a BC. Nenhum ponto P do conjunto pode estar mais afastado de BC do que A, caso contrário a área de PBC seria maior do que a área de ABC (mesma base e altura menor). Então todos os pontos P do conjunto estão do mesmo lado de BC do plano que é dividido por r. Analogamente, tracemos retas r2 paralea a AC por B e r paralela a AB por C. Repetindo o mesmo argumento, vemos que todos os pontos do conjunto devem estar dentro do triângulo determinado por estas três paralelas. (triângulo MNP).

Mas é fácil perceber que ABC é o triangulo formado pelos pontos médios dos lados do MNP. Mas sabemos que a área do triangulo MNP é 4 vezes a área do triangulo ABC. E como [ABC] é no máximo 1 , [MNP] é no máximo 4. Então todos os pontos conjuntos estão contidos num triângulo de área no maximo 4. cqd

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Re: Clássica aplicacao do princípio extremo

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