Soma de cossenos na raiz cúbica

Encontre o valor da soma:

Tome:[;z^7-1=0;]

[;(z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0;]

Ou z-1=0-->z=1 X

Ou [;z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0;] , divide por [;z^3;]

(I)[;(z^3+\frac{1}{z^3})+(z^2+\frac{1}{z^2})+(z+\frac{1}{z})+1=0;]

Substituindo estas equações:

[;*(z+\frac{1}{z})=y;]

[;**(z^3+\frac{1}{z^3})=y^2-2 ;]

[;***(z^2+\frac{1}{z^2})=y^3-3y;]

Na equação I:

[;y^3+y^2-2y-1=0;]

[;y1=2cos\frac{2\pi}{7};]

[;y2 =2cos\frac{4\pi}{7};]

[;y3=2cos\frac{6\pi}{7};]

Por Girard:

[;y1+y2+y3=-1;]

[;y1y2 +y1y3+y2y3=-2;]

[;y1y2y3=1;]

[b]Tome esta equação cujas raizes são x1,x2 e x3:

[;x^3-Ax^2+Bx-C=0;]

x1=[;\sqrt[3]{\frac{cos2\pi}{7}};] ---->[;x1+x2+x3=A;]
x2=[;\sqrt[3]{\frac{cos4\pi}{7}};] ---->[;x1x2+x1x3+x2x3=B;]
x3=[;\sqrt[3]{\frac{cos6\pi}{7}};] ---->[;x1x2x3=C;]

Determinação de C

[;\sqrt[3]{{\frac{cos2\pi}{7}}.{\frac{cos4\pi}{7}}.{\frac{cos6\pi}{7}}}=C-->c=1/2;]

Determinação de A

[;A^3=(x1+x2+x3)^3);]

[;A^3=(x1^3+x2^3+x3^3) +3(x1+x2)(x1+x3)(x2+x3) .:(x1^3+x2^3+x3^3)=\frac{y1+y2+y3}{2};]

[;A^3=\frac{-1}{2} + 3(A-x3)(A-x2)(A-x1);]

[;A^3=\frac{-1}(2}+3[A^3-(x1+x2+x3)A^2+(x1x2+x1x3+x2x3)A-x1x2x3] ;]

[;A^3=\frac{-1}{2}+3[A^3-A^3+AB-\frac{1}{2}] ;]

(II)[;A^3=3AB-2;]

Determinação do B

[;(x1x2+x1x3+x2x3)^3=B^3;]

[;B^3=(x1x2)^3 +(x1x3)^3 + (x2x3)^3+3(x1x2 + x1x3)(x1x2+x2x3)(x1x3+x2x3);]

[;B^3= \frac{y1y2+y1y3+y2y3){4} + 3(B-x2x3)(B-x1x3)(B-x1x2);]

[;B^3=\frac{-1}{2} + 3[B^3-(x1x2+x1x3+x2x3)B^2 + x1x2x3(x1+x2+x3)B-(x1x2x3)^2];]

[;B^3=\frac{-1}{2} + 3(\frac{AB}{2} + \frac{-1}{4});]

(III)[;B^3=\frac{3AB}{2}+\frac{-5}{4};]

Multiplicando as equações (II) e (III):

(II)x(III):

[;(AB)^3=\frac{9}{2}(AB)^2 + \frac{-15AB}{4}-3AB + \frac{5]{2};].: multiplica por 8

[;8(AB)^3=36(AB)^2-54AB+20;]

[;8(AB)^3-36(AB)^2+54AB-27=20-27;]

[;(2AB)^3-3.(2AB)^2.3 +3(2AB)3^2-3^3=-7;]

[;(2AB-3)^3=-7;]

(IV)[;AB=\frac{3-\sqrt[3]{7}}{2};]

Das equações (I) e (IV):

[;A^3=3AB-2;]

[;A^3=3(\frac{3-\sqrt[3]{7}}{2}) -2;]

[;A=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}};]

[;Onde A=x1+x2+x3; x1=\sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}} ,x2=\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}} , x3=\sqrt[3]{cos\frac{6\pi}{7}};]

Invalid equation 1:

[;B^3=\frac{y1y2+y1y3+y2y3}{4}+3(B-x2x3)(B-x1x3)(B-x1x2);]

Invalid equation 2:

[;A^3B^3=\frac{9(AB)^2}{2}+\frac{-15(AB)}{4}+\frac{5}{2}-3(AB);]

Para quem não conseguiu visualizar a resolução direito, seguem os prints de como ficou aqui :

Parte 1: https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/35/questaojudsonparte1.png/
Parte 2: https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/585/questaojudsonparte2.png/
Parte 3: https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/148/questaojudsonparte3.png/
Parte 4: https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/689/questaojudsonparte4.png/
Parte 5: https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/827/questaojudsonparte5.png/

Excelente resolução Lucas