Prove - Soma de cossenos - boa

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Prove - Soma de cossenos - boa

Mensagem por Luís Eduardo em Seg Ago 15, 2011 9:13 pm

Prove que:

cos(2pi/13) + cos(6pi/13) + cos(8pi/13) = (sqrt(13) - 1)/4
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Luís Eduardo
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Re: Prove - Soma de cossenos - boa

Mensagem por Luís Eduardo em Seg Ago 15, 2011 9:14 pm

z = cis(12pi/13)

z^13 - 1 = 0
(z - 1)(z^12 + z^11 + ... + z + 1) = 0

(z^12 + z^11 + ... + z + 1) = 0

Dividindo tudo por z^6, tem-se:

z^6 + z^5 + ... z + 1 + 1/z + ... + 1/z^5 + 1/z^6 = 0

Agrupando os termos equidistantes dos extremos:

(z^6 + 1/z^6) + (z^5 + 1/z^5) + ... + (z + 1/z) + 1 = 0 __ [ eq0 ]

Seja

z + 1/z = y __ [ eq1 ]

Assim,

de (z + 1/z)^2 = y^2, vem

z^2 + 1/z^2 = y^2 - 2 __ [ eq2 ]

de z^3 + 1/z^3 = (z +1/z)(z^2 - 1 + 1/z^2), substituindo eq1 e eq2, vem

z^3 + 1/z^3 = y^3 - 3y __ [ eq3 ]

de (z^2 + 1/z^2)^2 = (y^2 - 2)^2, vem

z^4 + 1/z^4 = y^4 - 4y^2 + 2 __ [ eq4 ]

de z^5 + 1/z^5 = (z + 1/z)(z^4 - z^2 + 1 - 1/z^2 - 1/z^4), substituindo eq1, eq2 e eq4, vem

z^5 + 1/z^5 = y( y^4 - 4y^2 + 2 - y^2 + 2 + 1) = y( y^4 - 5y^2 + 5), ou

z^5 + 1/z^5 = y^5 - 5y^3 + 5y __ [ eq5 ]

de (z^3 + 1/z^3)^2 = (y^3 - 3y)^2, vem

z^6 + 1/z^6 = y^6 - 6y^4 + 9y^2 - 2 __ [ eq6 ]

Agora, substituindo eq1, eq2, eq3, eq4, eq5 e eq6 em eq0, teremos:

y^6 + y^5 - 5y^4 - 4y^3 + 6y^2 + 3y - 1 = 0


As raízes são: y1 = 2cos(2pi/13), y2 = 2.cos(4pi/13); ... ; y6 = 2cos(12pi/13)

Sendo: A = cos(2pi/13) + cos(6pi/13) + cos(8pi/13)
B = cos(4pi/13) + cos(10pi/13) + cos(12pi/13)


Pela equação é fácil ver que:
A + B = - 1/2
A.B = - 3/4

Assim, A e B são raízes da equação:

x² + (1/2)*x - 3/4 = 0
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Luís Eduardo
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