[DESAFIO] Probabilidade no triângulo

Seja um triângulo ABC tal que a>b>c. Ao acaso, escolhemos um ponto P dentro do triângulo. Determine a probabilidade de que esta escolha resulte na inequação AP²+BP²+CP²>a²+c².

Olá! Pensei em resolver essa questão usando geometria analítica. Primeiro identifico a área correspondente à inequação dada, depois basta fazer a razão entre a área encontrada e a área do triângulo. Tentei fazer isso, colocando inicialmente os vértices do triângulo ABC nas seguintes coordenadas:



Além disso, considerei o lado a entre os vértices A e B, o lado c entre os vértices A e C e o b entre os vértices B e C. Assim tem-se as seguintes informações:



e



Dessa forma, resolvendo o sistema e desenvolvendo o resultado, chega-se à seguinte inequação:



Que é a inequação que representa a área que satisfaz a condição do problema. Agora, em tese, é "só" calcular a intersecção da área encontrada com a área do triângulo e fazer a razão entre esse resultado e a área do triangulo. Mas não sei como fazer isso ainda... Porém acho que deve haver outra resolução. De onde é essa questão?

Humm, não havia pensado como você, me deu uma idéia que não havia pensando antes.

Me observando o que você fez, não cairíamos no calculo da probabilidade da expressão que o problema pede, pois como visto, seria o cálculo da razão e a área do triângulo, assim chegaríamos a um resultado de área e não de um segmento. Anyway, eu não consegui fazer ainda.

A questão foi proposta na Espanha em 1994, um professor de lá me enviou. Agora se é de olimpíada ou qualquer coisa, eu não sei te informar agora.

[]'

Mas a probabilidade, nesse caso, é a razão entre essas áreas, e não um segmento. A inequação dada nos remete a uma área do triangulo, que é o evento procurado, sendo a área total do triangulo o espaço amostral. Já teve alguma outra ideia?

Abraços

E como você estava pensando em resolver a questão?

Eu tentei por trigonometria e complexos (mesmo não vendo um caminho legível), mesmo assim não saí do lugar, sempre caio em contradição. Se eu conseguir algo mais esplêndido, postarei aqui.

A resposta você não tem?

Acho que ele não tem, fbaltor.

Mas, Kenne, poderia mostrar o que está tentando fazer ? Digo, o que fez até agora para resolver a questão ?

Então, ultimamente estou bem ocupado (Química). Mas vou por o que fiz, mas pode parecer confuso, já que é uma tentativa atrás da outra rsrs.

Abraços.