[DESAFIO] Probabilidade no triângulo

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[DESAFIO] Probabilidade no triângulo

Mensagem por Kenne em Dom Out 16, 2011 11:09 am

Seja um triângulo ABC tal que a>b>c. Ao acaso, escolhemos um ponto P dentro do triângulo. Determine a probabilidade de que esta escolha resulte na inequação AP²+BP²+CP²>a²+c².

Kenne

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Re: [DESAFIO] Probabilidade no triângulo

Mensagem por fbaltor em Qui Out 20, 2011 5:54 pm

Olá! Pensei em resolver essa questão usando geometria analítica. Primeiro identifico a área correspondente à inequação dada, depois basta fazer a razão entre a área encontrada e a área do triângulo. Tentei fazer isso, colocando inicialmente os vértices do triângulo ABC nas seguintes coordenadas:



Além disso, considerei o lado a entre os vértices A e B, o lado c entre os vértices A e C e o b entre os vértices B e C. Assim tem-se as seguintes informações:



e



Dessa forma, resolvendo o sistema e desenvolvendo o resultado, chega-se à seguinte inequação:



Que é a inequação que representa a área que satisfaz a condição do problema. Agora, em tese, é "só" calcular a intersecção da área encontrada com a área do triângulo e fazer a razão entre esse resultado e a área do triangulo. Mas não sei como fazer isso ainda... Porém acho que deve haver outra resolução. De onde é essa questão?
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Re: [DESAFIO] Probabilidade no triângulo

Mensagem por Kenne em Sex Out 21, 2011 7:35 am

Humm, não havia pensado como você, me deu uma idéia que não havia pensando antes.

Me observando o que você fez, não cairíamos no calculo da probabilidade da expressão que o problema pede, pois como visto, seria o cálculo da razão e a área do triângulo, assim chegaríamos a um resultado de área e não de um segmento. Anyway, eu não consegui fazer ainda.

A questão foi proposta na Espanha em 1994, um professor de lá me enviou. Agora se é de olimpíada ou qualquer coisa, eu não sei te informar agora.

[]'

Kenne

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Re: [DESAFIO] Probabilidade no triângulo

Mensagem por fbaltor em Sex Out 21, 2011 4:24 pm

Mas a probabilidade, nesse caso, é a razão entre essas áreas, e não um segmento. A inequação dada nos remete a uma área do triangulo, que é o evento procurado, sendo a área total do triangulo o espaço amostral. Já teve alguma outra ideia?

Abraços
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Re: [DESAFIO] Probabilidade no triângulo

Mensagem por fbaltor em Sab Out 22, 2011 10:17 pm

E como você estava pensando em resolver a questão?
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Re: [DESAFIO] Probabilidade no triângulo

Mensagem por Kenne em Dom Out 23, 2011 6:03 pm

Eu tentei por trigonometria e complexos (mesmo não vendo um caminho legível), mesmo assim não saí do lugar, sempre caio em contradição. Se eu conseguir algo mais esplêndido, postarei aqui.

Kenne

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Re: [DESAFIO] Probabilidade no triângulo

Mensagem por fbaltor em Dom Out 23, 2011 8:54 pm

A resposta você não tem?
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Re: [DESAFIO] Probabilidade no triângulo

Mensagem por marcelo em Qua Out 26, 2011 11:14 am

Acho que ele não tem, fbaltor.

Mas, Kenne, poderia mostrar o que está tentando fazer ? Digo, o que fez até agora para resolver a questão ?
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Re: [DESAFIO] Probabilidade no triângulo

Mensagem por Kenne em Seg Out 31, 2011 4:47 pm

Então, ultimamente estou bem ocupado (Química). Mas vou por o que fiz, mas pode parecer confuso, já que é uma tentativa atrás da outra rsrs.

Abraços.

Kenne

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Re: [DESAFIO] Probabilidade no triângulo

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