Geometria Analítica

Seja (h,k) um ponto fixo, sendo h > 0, k > 0. Uma reta passando por esse ponto corta os eixos positivos em P e Q.
Encontre a área mínima do triângulo OPQ, sendo O a origem.

Resolução DGabriel

y - k = m (x - h)

para x = 0 ---> y = k - hm
para y = 0 ---> x = h - k/m

Assim, os vértices do triângulo retângulo são:
(0, 0); (0, k - hm); (h - k/m, 0)

A área é dada, em função de m, por:
2 S(m) = 2hk - h²m - k²/m

Pontos críticos:
2 S'(m) = k²/m² - h² = 0 ---> m = - k/h

Teste pela 2ª derivada:
2 S"(m) = - 2k²/m³ ---> S"(- k/h) > 0 ---> m = - k/h é ponto de mínimo

2 S(min) = 2 S(- k/h) = 2hk + hk + hk ---> S(min) = 2 hk